Lawrence war unter dem legendären Teammanager Bill Shankly in den 1960er-Jahren Liverpools Stammtorhüter und verhalf dem Klub zu zwei Meisterschaften (1964 und 1965) sowie zum ersten Triumph im FA Cup (1965). Von 1962 bis 1971 stand "The Flying Pig" (Das fliegende Schwein), wie er aufgrund seiner Agilität trotz beachtlichen Gewichts von rund 90 kg genannt wurde, 390-mal zwischen den Pfosten.
1966 im Endspiel des Europapokals der Pokalsieger gegen Borussia Dortmund (1:2 n.V.) musste Lawrence das Siegtor per Bogenlampe durch Reinhard "Stan" Libuda hinnehmen (106.). Zuvor hatte ihn bereits Siggi Held bezwungen (62.).
